Sistemi numerici
Un sistema numerico è un insieme di regole per rappresentare i numeri utilizzando diversi segni numerici. I sistemi numerici sono classificati in due tipi: non posizionali e posizionali.
Nei sistemi numerici posizionali, il valore di ogni cifra non dipende dalla posizione che occupa, cioè dal posto che occupa nell'insieme delle cifre. Nel sistema numerico romano ci sono solo sette cifre: uno (I), cinque (V), dieci (X), cinquanta (L), cento (C), cinquecento (D), mille (M). Usando questi numeri (simboli), i numeri rimanenti vengono scritti per addizione e sottrazione. Ad esempio, IV è la notazione del numero 4 (V — I), VI è il numero 6 (V + I) e così via. Il numero 666 è scritto nel sistema romano come segue: DCLXVI.
Questa notazione è meno conveniente di quella che usiamo attualmente. Qui si scrive sei con un simbolo (VI), sei decine con un altro (LX), seicentotre (DC). È molto difficile eseguire operazioni aritmetiche con numeri scritti nel sistema numerico romano. Inoltre, uno svantaggio comune dei sistemi non posizionali è la complessità di rappresentare in essi numeri sufficientemente grandi da risultare in una notazione estremamente ingombrante.
Consideriamo ora lo stesso numero 666 nel sistema numerico posizionale. In esso, un singolo segno 6 indica il numero di uno se è all'ultimo posto, il numero di decine se è al penultimo posto e il numero di centinaia se è al terzo posto dalla fine. Questo principio di scrittura dei numeri è chiamato posizionale (locale). In una tale registrazione, ogni cifra riceve un valore numerico che dipende non solo dal suo stile, ma anche da dove si trova quando il numero viene scritto.
Nel sistema numerico posizionale, qualsiasi numero rappresentato come A = +a1a2a3 … ann-1an può essere rappresentato come somma
dove n — numero finito di cifre nell'immagine di un numero, ii numero i-go digit, d — base del sistema numerico, i — numero ordinale della categoria, dm-i — "peso" della categoria i-ro . Le cifre ai devono soddisfare la disuguaglianza 0 <= a <= (d — 1).
Per la notazione decimale, d = 10 e ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Poiché i numeri composti da uno e zero possono essere percepiti come numeri decimali o binari quando usati insieme, di solito viene indicata la base del sistema numerico, ad esempio (1100)2-binario, (1100)10-decimale.
Nei computer digitali sono ampiamente utilizzati sistemi diversi dal decimale: binario, ottale ed esadecimale.
Sistema binario
Per questo sistema d = 2 e qui sono consentite solo due cifre, cioè ai = 0 o 1.
Qualsiasi numero espresso nel sistema binario è rappresentato come la somma del prodotto della potenza di base per due volte la cifra binaria del dato bit. Ad esempio, il numero 101.01 può essere scritto così: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, che corrisponde al numero nel sistema decimale: 4 + 1 + 0.25 = 5.25 .
Nella maggior parte dei computer digitali moderni, il sistema numerico binario viene utilizzato per rappresentare i numeri in una macchina ed eseguire operazioni aritmetiche su di essi.
Il sistema numerico binario, rispetto a quello decimale, consente di semplificare circuiti e circuiti del dispositivo aritmetico e del dispositivo di memoria e di aumentare l'affidabilità del computer. La cifra di ogni bit di un numero binario è rappresentata dagli stati «on / off» di elementi come transistor, diodi, che funzionano in modo affidabile negli stati «on / off». Gli svantaggi del sistema binario includono la necessità di tradurre secondo un programma speciale i dati digitali originali nel sistema numerico binario e i risultati della decisione in decimale.
Sistema numerico ottale
Questo sistema ha base d == 8. I numeri sono usati per rappresentare i numeri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Il sistema numerico ottale viene utilizzato nel computer come ausilio nella preparazione dei problemi da risolvere (nel processo di programmazione), nel controllo del funzionamento di una macchina e nel debugging di un programma. Questo sistema fornisce una rappresentazione più breve del numero rispetto al sistema binario. Il sistema numerico ottale consente di passare semplicemente al sistema binario.
Sistema numerico esadecimale
Questo sistema ha base d = 16. 16 caratteri sono usati per rappresentare i numeri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, e il i caratteri A … F rappresentano i numeri decimali 10, 11, 12, 13, 14 e 15. Il numero esadecimale (1D4F) 18 corrisponderà al decimale 7503 perché (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15x16O = (7503)10
La notazione esadecimale consente di scrivere i numeri binari in modo più compatto rispetto all'ottale. Trova applicazione nei dispositivi di input e output e nei dispositivi di visualizzazione dell'ordine numerico di alcuni computer.
Sistema numerico binario-decimale
La rappresentazione dei numeri nel sistema binario-decimale è la seguente. La notazione decimale del numero viene presa come base, quindi ciascuna delle sue cifre (da 0 a 9) viene scritta sotto forma di un numero binario di quattro cifre chiamato tetrade, ovvero non viene utilizzato un segno per rappresentare ogni cifra del sistema decimale, ma quattro.
Ad esempio, il decimale 647,59 corrisponderebbe a BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.
Il sistema numerico decimale binario viene utilizzato come sistema numerico intermedio e per codificare i numeri di input e output.
Regole per il trasferimento di un sistema numerico a un altro
Lo scambio di informazioni tra dispositivi informatici avviene principalmente attraverso numeri rappresentati nel sistema numerico binario. Tuttavia, le informazioni vengono presentate all'utente in numeri nel sistema decimale e l'indirizzamento dei comandi viene presentato nel sistema ottale. Da qui la necessità di trasferire i numeri da un sistema all'altro nel processo di lavoro con un computer. Per fare ciò, utilizzare la seguente regola generale.
Per convertire un numero intero da un qualsiasi sistema numerico a un altro, è necessario dividere successivamente questo numero per la base del nuovo sistema finché il quoziente non è inferiore al divisore. Il numero nel nuovo sistema deve essere scritto sotto forma di resti di divisione, a partire dall'ultimo, cioè da destra a sinistra.
Ad esempio, convertiamo il decimale 1987 in binario:
Il numero decimale 1987 in formato binario è 11111000011, cioè (1987)10 = (11111000011)2
Quando si passa da qualsiasi sistema a decimale, il numero viene rappresentato come la somma delle potenze della base con i coefficienti corrispondenti, quindi viene calcolato il valore della somma.
Ad esempio, convertiamo il numero ottale 123 in decimale: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, cioè (123)8 = (83)10
Per trasferire la parte frazionaria di un numero da qualsiasi sistema a un altro, è necessario eseguire successive moltiplicazioni di questa frazione e delle parti frazionarie risultanti del prodotto in base al nuovo sistema numerico. La parte frazionaria di un numero nel nuovo sistema si forma sotto forma di parti intere dei prodotti risultanti, a partire dal primo. Il processo di moltiplicazione continua finché non viene calcolato un numero con una data precisione.
Ad esempio, convertiamo la frazione decimale 0,65625 nel sistema numerico binario:
Poiché la parte frazionaria del quinto prodotto consiste solo di zeri, non è necessaria un'ulteriore moltiplicazione. Ciò significa che il dato decimale viene convertito in binario senza errori, ad es. (0,65625)10 = (0,10101)2.
La conversione da ottale ed esadecimale a binario e viceversa non è difficile. Questo perché le loro basi (d — 8 e d — 16) corrispondono a numeri interi di due (23 = 8 e 24 = 16).
Per convertire numeri ottali o esadecimali in binari, è sufficiente sostituire ciascuno dei loro numeri rispettivamente con un numero binario di tre o quattro cifre.
Ad esempio, traduciamo il numero ottale (571)8 e il numero esadecimale (179)16 nel sistema numerico binario.
In entrambi i casi otteniamo lo stesso risultato, cioè (571)8 = (179)16 = (101111001)2
Per convertire un numero da decimale binario a decimale, è necessario sostituire ogni tetrade del numero rappresentato in decimale binario con una cifra rappresentata in decimale.
Ad esempio, scriviamo il numero (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 in notazione decimale, cioè (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)