Leggi dell'algebra dei circuiti di contatto, algebra booleana

Una registrazione analitica della struttura e delle condizioni operative dei circuiti a relè consente di effettuare trasformazioni analitiche equivalenti dei circuiti, ovvero trasformando le formule strutturali, trovando schemi simili nel loro funzionamento. I metodi di conversione sono particolarmente sviluppati per formule strutturali che esprimono circuiti di contatto.

Per i circuiti di contatto viene utilizzato l'apparato matematico dell'algebra della logica, più precisamente una delle sue varietà più semplici, chiamata calcolo delle proposizioni o algebra booleana (dal nome del matematico del secolo scorso J. Boole).

Il calcolo proposizionale è stato originariamente sviluppato per studiare la dipendenza (la verità o falsità di giudizi complessi sulla verità o falsità delle semplici proposizioni che li compongono. In sostanza, il calcolo proposizionale è un'algebra di due numeri, cioè un'algebra in dove ogni singolo argomento e ogni funzione può avere uno dei due valori.

Ciò determina la possibilità di utilizzare l'algebra booleana per trasformare i circuiti di contatto, poiché ciascuno degli argomenti (contatti) inclusi nella formula strutturale può assumere solo due valori, cioè può essere chiuso o aperto, e l'intera funzione rappresentata dalla struttura la formula può esprimere un ciclo chiuso o aperto.

L'algebra booleana introduce:

1) oggetti che, come nell'algebra ordinaria, hanno nomi: variabili e funzioni indipendenti — tuttavia, a differenza dell'algebra ordinaria, nell'algebra booleana entrambe possono assumere solo due valori: 0 e 1;

2) operazioni logiche di base:

• addizione logica (o disgiunzione, OR logico, denotata dal segno ?), che si definisce come segue: il risultato dell'operazione è 0 se e solo se tutti gli argomenti dell'operazione sono uguali a 0, altrimenti il ​​risultato è 1;

• moltiplicazione logica (o concatenazione, AND logico, indicata con ?, o non specificata affatto) che è definita come segue: il risultato dell'operazione è 1 se e solo se tutti gli argomenti dell'operazione sono uguali a 1, altrimenti il ​​risultato è 0;

• negazione (o viceversa, NOT logico, indicato da una barra sopra l'argomento), che è definita come segue: il risultato dell'operazione ha il valore opposto dell'argomento;

3) assiomi (leggi dell'algebra booleana), che definiscono le regole per trasformare le espressioni logiche.

Si noti che ciascuna delle operazioni logiche può essere eseguita sia su variabili che su funzioni, che verranno chiamate funzioni booleane di seguito... Ricordiamo che, per analogia con l'algebra ordinaria, nell'algebra booleana, l'operazione di moltiplicazione logica ha la precedenza su quella logica operazione di addizione.

Le espressioni booleane sono formate combinando operazioni logiche su un numero di oggetti (variabili o funzioni), chiamati argomenti dell'operazione.

La trasformazione di espressioni logiche utilizzando le leggi dell'algebra booleana viene solitamente eseguita con l'obiettivo di minimizzare, perché più semplice è l'espressione, minore è la complessità della catena logica, che è l'implementazione tecnica dell'espressione logica.

Le leggi dell'algebra booleana sono presentate come un insieme di assiomi e conseguenze. Questi possono essere verificati semplicemente sostituendo diversi valori delle variabili.

L'analogo tecnico di qualsiasi espressione logica per una funzione booleana è un diagramma logico... In questo caso, le variabili da cui dipende una funzione booleana sono collegate agli ingressi esterni di questo circuito, il valore di una funzione booleana è formato al uscita esterna del circuito e ogni operazione logica in un'espressione logica è implementata da un elemento logico.

Pertanto, per ogni insieme di segnali di ingresso all'uscita del circuito logico, viene generato un segnale che corrisponde al valore di una funzione booleana di questo insieme di variabili (più avanti, useremo la seguente convenzione: 0 — livello di segnale basso , 1 — alto livello di segnale).

Quando si costruiscono circuiti logici, assumeremo che le variabili vengano fornite all'ingresso in un codice parafase (ovvero, sono disponibili sia i valori diretti che inversi delle variabili).

La tabella 1 mostra le designazioni grafiche convenzionali di alcuni elementi logici secondo GOST 2.743-91, nonché le loro controparti straniere.

Oltre agli elementi che eseguono le tre operazioni dell'algebra booleana (AND, OR, NOT), in tab. 1 mostra gli elementi che eseguono operazioni derivate dal main:

— AND -NOT — negazione della moltiplicazione logica, chiamata anche mossa di Schaefer (indicata con |)

— OR -NOT — negazione del complemento logico, detta anche freccia di Peirce (indicata con ?)

Collegando in serie le porte logiche tra loro, è possibile implementare qualsiasi funzione booleana.

Le formule strutturali che esprimono circuiti di relè in generale, cioè contenenti simboli di aquile che reagiscono, non possono essere considerate come funzioni di due valori che esprimono solo circuito chiuso o aperto. Pertanto, quando si lavora con tali funzioni, sorgono una serie di nuove dipendenze che vanno oltre i limiti dell'algebra booleana.

Nell'algebra booleana ci sono quattro coppie di leggi fondamentali: due spostamenti, due combinatorie, due distributive e due inversioni legali. Queste leggi stabiliscono l'equivalenza di diverse espressioni, cioè considerano le espressioni che possono essere sostituite l'una con l'altra come la sostituzione delle identità nell'algebra ordinaria. Come simbolo di equivalenza prendiamo il simbolo che è uguale al simbolo di uguaglianza nell'algebra ordinaria (=).

La validità delle leggi dell'algebra booleana per i circuiti di contatto sarà stabilita considerando i circuiti corrispondenti ai lati sinistro e destro delle espressioni equivalenti.

Leggi di viaggio

Per sommare: x + y = y + x

Gli schemi corrispondenti a queste espressioni sono mostrati in Fig. 1, un.

I circuiti sinistro e destro sono circuiti normalmente aperti, ciascuno dei quali si chiude quando viene attivato uno degli elementi (X o Y), ovvero questi circuiti sono equivalenti. Per la moltiplicazione: x ·y = y ·NS.

Gli schemi corrispondenti a queste espressioni sono mostrati in Fig. 1b, anche la loro equivalenza è ovvia.

Riso. 1

Leggi di combinazione

Per addizione: (x + y) + z = x + (y + z)

Per la moltiplicazione: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Le coppie di circuiti equivalenti corrispondenti a queste espressioni sono mostrate in Fig. 2, a, b

Riso. 2

Leggi di distribuzione

Moltiplicazione contro addizione: (x + y) +z = x + (y + z)

Addizione vs Moltiplicazione. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Gli schemi corrispondenti a queste espressioni sono mostrati in Fig. 3, a, b.

Riso. 3.

L'equivalenza di questi schemi può essere facilmente verificata considerando diverse combinazioni di azionamento dei contatti.

Leggi di inversione

Inoltre: NS + c = NS·c

La barra sopra il lato sinistro dell'espressione è un segno di negazione o di inversione. Questo segno indica che l'intera funzione ha il significato opposto rispetto all'espressione sotto il segno di negazione. Non è possibile tracciare un diagramma corrispondente all'intera funzione inversa, ma si può tracciare un diagramma corrispondente all'espressione sotto il segno negativo. Pertanto, la formula può essere illustrata con i diagrammi mostrati in Fig. 4, un.

Riso. 4.

Il diagramma di sinistra corrisponde all'espressione x + y, e quello di destra a NS ·c

Questi due circuiti sono opposti l'uno all'altro nel funzionamento, vale a dire: se il circuito sinistro con elementi non eccitati X, Y è un circuito aperto, allora il circuito destro è chiuso. Se nel circuito di sinistra, quando uno degli elementi viene attivato, il circuito si chiude e nel circuito di destra, al contrario, si apre.

Poiché, per definizione di segno negativo, la funzione x + y è l'inverso della funzione x + y, allora è ovvio che x + y = NS·in.

Per quanto riguarda la moltiplicazione: NS · c = NS + c

Gli schemi corrispondenti sono mostrati in fig. 4, b.

Leggi traslocative e combinatorie e legge distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione (corrispondenti a leggi simili dell'algebra ordinaria).Pertanto, nel caso di trasformazione di formule strutturali nell'ordine di addizione e moltiplicazione di termini, posizionamento di termini fuori parentesi ed espansione di parentesi, è possibile seguire le regole stabilite per lavorare con espressioni algebriche ordinarie. La legge distributiva dell'addizione rispetto alla moltiplicazione e le leggi dell'inversione sono specifiche dell'algebra booleana.