Perché i numeri complessi vengono utilizzati per i calcoli nei circuiti CA

Come sapete, i numeri complessi vengono utilizzati per risolvere alcuni problemi tipici dell'ingegneria elettrica. Ma a cosa servono e perché si fa in questo modo? Questo è quello che cercheremo di capire nel corso di questo articolo. Il fatto è che il metodo complesso o il metodo delle ampiezze complesse è conveniente per il calcolo di circuiti CA complessi. E per cominciare, ricordiamo alcune basi della matematica:

Come puoi vedere, il numero complesso z include la parte immaginaria e la parte reale, che differiscono l'una dall'altra e sono denotate in modo diverso nel testo. Il numero complesso z stesso può essere scritto in forma algebrica, trigonometrica o esponenziale:

Sfondo storico

Si ritiene che l'idea dei numeri immaginari sia iniziata nel 1545, quando il matematico, ingegnere, filosofo, medico e astrologo italiano Girolamo Cardano pubblicò questo metodo di risoluzione delle equazioni nel suo trattato "La grande arte", dove, secondo tra gli altri , ha ammesso che Niccolò gli aveva dato l'idea a Tartaglia (un matematico italiano) 6 anni prima della pubblicazione di questo lavoro. Nel suo lavoro, Kradano risolve equazioni della forma:

Nel processo di risoluzione di queste equazioni, lo scienziato è stato costretto ad ammettere l'esistenza di un numero «irreale», il cui quadrato sarà uguale a meno uno «-1», cioè come se ci fosse una radice quadrata di a numero negativo, e se ora è elevato al quadrato, risulterà essere il corrispondente numero negativo sotto la radice. Cardano enunciava la regola della moltiplicazione, secondo la quale:

Per tre secoli, la comunità matematica si è abituata al nuovo approccio proposto da Cardano. I numeri immaginari stanno gradualmente mettendo radici, ma i matematici sono riluttanti ad accettare. Fu solo con la pubblicazione delle opere di Gauss sull'algebra, dove dimostrò il teorema fondamentale dell'algebra, che i numeri complessi furono finalmente pienamente accettati, il XIX secolo era alle porte.

I numeri immaginari sono diventati un vero toccasana per i matematici perché i problemi più complessi sono diventati molto più facili da risolvere accettando l'esistenza di numeri immaginari.

Quindi presto arrivò all'ingegneria elettrica. I circuiti CA a volte erano molto complessi e per calcolarli dovevano essere calcolati molti integrali, il che era spesso molto scomodo.

Infine, nel 1893, il brillante ingegnere elettrotecnico Carl August Steinmetz parlò a Chicago al Congresso Elettrotecnico Internazionale con una relazione "Numeri complessi e loro applicazione nell'ingegneria elettrica", che di fatto segnò l'inizio dell'applicazione pratica da parte degli ingegneri del metodo complesso di calcolo dei circuiti elettrici per la corrente alternata.

Lo sappiamo dal corso di fisica corrente alternata - questa è una corrente che cambia nel tempo sia in grandezza che in direzione.

Nella tecnologia esistono diverse forme di corrente alternata, ma la più comune oggi è la corrente sinusoidale alternata, questo è ciò che viene utilizzato ovunque, con l'aiuto del quale viene trasmessa l'elettricità, sotto forma di corrente alternata, che viene generata, convertita da trasformatori ed è consumato dai carichi. Una corrente sinusoidale cambia periodicamente secondo una legge sinusoidale (armonica).

I valori efficaci della corrente e della tensione sono inferiori ai valori di ampiezza della radice di due volte:

Nel metodo complesso, i valori effettivi di correnti e tensioni sono scritti come segue:

Si noti che in ingegneria elettrica, l'unità immaginaria è indicata dalla lettera «j», poiché la lettera «i» è già usata qui per indicare la corrente.

Da Legge di Ohm determina il valore complesso della resistenza:

L'addizione e la sottrazione di valori complessi viene eseguita in forma algebrica e la moltiplicazione e la divisione in forma esponenziale.

Consideriamo il metodo delle ampiezze complesse usando l'esempio di un circuito specifico con determinati valori dei parametri principali.

Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando numeri complessi

Dato:

• tensione bobina 50 V,

• resistenza resistenza 25 Ohm,

• induttanza bobina 500 mH,

• la capacità elettrica del condensatore è di 30 microfarad,

• resistenza bobina 10 Ohm,

• frequenza di rete 50Hz.

Trova: letture di amperometro e voltmetro e wattmetro.

Risposta:

Per cominciare, scriviamo la resistenza complessa degli elementi collegati in serie, che consiste di parti reali e immaginarie, quindi troviamo la resistenza complessa di un elemento attivo-induttivo.

Ricordando! Per ottenere la forma esponenziale, trova il modulo z uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle parti reale e immaginaria, e phi uguale all'arcotangente del quoziente della parte immaginaria diviso per la parte reale.

Quindi troviamo la corrente e, di conseguenza, le letture dell'amperometro:

Quindi l'amperometro mostra una corrente di 0,317 A, che è la corrente attraverso l'intero circuito in serie.

Ora troveremo la resistenza capacitiva del condensatore, quindi determineremo la sua resistenza complessa:

Calcoliamo quindi l'impedenza complessa totale di questo circuito:

Ora troviamo la tensione effettiva applicata al circuito:

Il voltmetro mostrerà una tensione effettiva di 19,5 volt.

Infine, troviamo la potenza che visualizzerà il wattmetro, tenendo conto della differenza di fase tra corrente e tensione

Il wattmetro mostrerà 3,51 watt.

Ora capisci quanto sono importanti i numeri complessi nell'ingegneria elettrica. Sono utilizzati per un comodo calcolo dei circuiti elettrici. Molti dispositivi di misurazione elettronici funzionano sulla stessa base.