La legge di Biot-Savart e il teorema della circolazione del vettore di induzione magnetica

Nel 1820, gli scienziati francesi Jean-Baptiste Biot e Félix Savard, nel corso di esperimenti congiunti per studiare i campi magnetici delle correnti continue, stabilirono inequivocabilmente che l'induzione magnetica di una corrente continua che scorre attraverso un conduttore può essere considerata il risultato della azione generale di tutte le sezioni di questo filo con corrente. Ciò significa che il campo magnetico obbedisce al principio di sovrapposizione (il principio di sovrapposizione dei campi).

Il campo magnetico creato da un gruppo di fili CC ha quanto segue induzione magneticache il suo valore è definito come la somma vettoriale delle induzioni magnetiche create da ciascun conduttore separatamente. Ovvero, l'induzione B del conduttore in corrente continua può essere equamente rappresentata dalla somma vettoriale delle induzioni elementari dB appartenenti alle sezioni elementari dl del conduttore in corrente continua considerato I.

È praticamente irrealistico isolare una sezione elementare di un conduttore di corrente continua, perché DC sempre chiuso.Ma si può misurare l'induzione magnetica totale creata da un filo, cioè generata da tutte le parti elementari di un dato filo.

Pertanto, la legge di Biot-Sovar consente di trovare il valore dell'induzione magnetica B della sezione (lunghezza nota dl) del conduttore, con una data corrente continua I, a una certa distanza r da questa sezione del conduttore e in un certa direzione di osservazione dalla sezione selezionata (impostata attraverso il seno dell'angolo tra la direzione della corrente e la direzione dalla sezione del conduttore al punto esaminato nello spazio vicino al conduttore):

È stato stabilito sperimentalmente che la direzione del vettore di induzione magnetica è facilmente determinata dalla vite di destra o dalla regola del giunto cardanico: se la direzione del movimento traslatorio del giunto cardanico durante la sua rotazione coincide con la direzione della corrente continua I nel filo, allora senso di rotazione dell'impugnatura cardanica determina la direzione del vettore di induzione magnetica B prodotto da una data corrente.

Il campo magnetico di un filo rettilineo percorso da corrente, nonché un'illustrazione dell'applicazione della legge di Bio-Savart ad esso, sono mostrati nella figura:

Quindi, se integriamo, cioè aggiungiamo, il contributo di ciascuna delle piccole sezioni di un conduttore di corrente costante al campo magnetico totale, otteniamo una formula per trovare l'induzione magnetica di un conduttore di corrente a un certo raggio R da esso .

Allo stesso modo, utilizzando la legge di Bio-Savard, è possibile calcolare le induzioni magnetiche da correnti continue di diverse configurazioni e in determinati punti nello spazio, ad esempio, l'induzione magnetica al centro di un circuito circolare con una corrente viene rilevata dal seguente formula:

La direzione del vettore di induzione magnetica si trova facilmente secondo la regola del gimbal, solo ora il gimbal deve essere ruotato nella direzione della corrente chiusa e il movimento in avanti del gimbal mostrerà la direzione del vettore di induzione magnetica.

Spesso i calcoli rispetto al campo magnetico possono essere semplificati se si tiene conto della simmetria della configurazione delle correnti data dal campo generatore. Qui puoi usare il teorema della circolazione del vettore di induzione magnetica (come il teorema di Gauss in elettrostatica). Cos'è la «circolazione del vettore di induzione magnetica»?

Scegliamo nello spazio un certo anello chiuso di forma arbitraria e indichiamo condizionalmente la direzione positiva del suo viaggio.Per ogni punto di questo anello, puoi trovare la proiezione del vettore di induzione magnetica B sulla tangente all'anello in quel punto. Quindi la somma dei prodotti di queste quantità per le lunghezze elementari di tutte le sezioni del contorno è la circolazione del vettore di induzione magnetica B lungo questo contorno:

Praticamente tutte le correnti che creano qui un campo magnetico generale possono o penetrare nel circuito in esame, oppure alcune di esse possono trovarsi al di fuori di esso. Secondo il teorema della circolazione: la circolazione del vettore di induzione magnetica B delle correnti continue in un anello chiuso è numericamente uguale al prodotto della costante magnetica mu0 per la somma di tutte le correnti continue che attraversano l'anello. Questo teorema fu formulato da Andre Marie Ampere nel 1826:

Considera la figura sopra. Qui le correnti I1 e I2 penetrano nel circuito, ma sono dirette in direzioni diverse, il che significa che hanno segni condizionatamente diversi.Il segno positivo avrà una corrente la cui direzione di induzione magnetica (secondo la regola di base) coincide con la direzione del bypass del circuito selezionato. Per questa situazione, il teorema di circolazione assume la forma:

In generale, il teorema per la circolazione del vettore di induzione magnetica B deriva dal principio di sovrapposizione del campo magnetico e dalla legge di Biot-Savard.

Ad esempio, deriviamo la formula per l'induzione magnetica di un conduttore di corrente continua. Scegliamo un contorno a forma di cerchio, attraverso il centro del quale passa questo filo, e il filo è perpendicolare al piano del contorno.

Così il centro del cerchio giace direttamente nel centro del conduttore, cioè nel conduttore. Poiché l'immagine è simmetrica, il vettore B è diretto tangenzialmente al cerchio, e la sua proiezione sulla tangente è quindi la stessa ovunque ed è uguale alla lunghezza del vettore B. Il teorema della circolazione è scritto come segue:

Pertanto, segue la formula per l'induzione magnetica di un conduttore rettilineo con corrente continua (questa formula è già stata data sopra). Allo stesso modo, usando il teorema della circolazione, si possono facilmente trovare le induzioni magnetiche di configurazioni continue simmetriche in cui l'immagine delle linee di campo è facile da visualizzare.

Uno degli esempi praticamente importanti dell'applicazione del teorema di circolazione è trovare il campo magnetico all'interno di un induttore toroidale.

Supponiamo che ci sia una bobina toroidale avvolta da un giro all'altro su un telaio di cartone a forma di ciambella con il numero di spire N. In questa configurazione, le linee di induzione magnetica sono racchiuse all'interno della ciambella e hanno la forma di cerchi concentrici (uno dentro l'altro) .

Se guardi nella direzione del vettore di induzione magnetica lungo l'asse interno della ciambella, si scopre che la corrente è diretta ovunque in senso orario (secondo la regola del gimbal). Considera una delle linee (mostrate in rosso) di induzione magnetica all'interno della bobina e sceglila come una spira circolare di raggio r. Quindi il teorema di circolazione per un dato circuito è scritto come segue:

E l'induzione magnetica del campo all'interno della bobina sarà uguale a:

Per una bobina toroidale sottile, dove il campo magnetico è quasi uniforme su tutta la sua sezione trasversale, è possibile scrivere l'espressione per l'induzione magnetica come per un solenoide infinitamente lungo, tenendo conto del numero di spire per unità di lunghezza — N :

Consideriamo ora un solenoide infinitamente lungo in cui il campo magnetico è interamente all'interno. Applichiamo il teorema di circolazione al contorno rettangolare selezionato.

Qui il vettore di induzione magnetica darà una proiezione diversa da zero solo sul lato 2 (la sua lunghezza è uguale a L). Usando il parametro n — «il numero di spire per unità di lunghezza», otteniamo una tale forma del teorema di circolazione, che alla fine si riduce alla stessa forma di una bobina toroidale multitonCoy: