Flusso e circolazione di un campo vettoriale

Basato sui materiali delle lezioni di Richard Feynman

Quando si descrivono le leggi dell'elettricità in termini di campi vettoriali, ci troviamo di fronte a due caratteristiche matematicamente importanti del campo vettoriale: flusso e circolazione. Sarebbe bello capire cosa sono questi concetti matematici e qual è il loro significato pratico.

Alla seconda parte della domanda è facile rispondere subito perché al centro ci sono i concetti di flusso e circolazione Equazioni di Maxwell, su cui poggia effettivamente tutta l'elettrodinamica moderna.

Quindi, ad esempio, la legge dell'induzione elettromagnetica può essere formulata come segue: la circolazione del campo elettrico E lungo un circuito chiuso C è uguale alla velocità di variazione del flusso del campo magnetico B attraverso la superficie S delimitata da questo anello B.

In quanto segue, descriveremo molto semplicemente, utilizzando chiari esempi fluidi, come le caratteristiche del campo sono determinate matematicamente, da cui queste caratteristiche del campo sono prese e ottenute.

Flusso di campo vettoriale

Per cominciare, disegniamo una certa superficie chiusa di forma completamente arbitraria attorno all'area in esame. Dopo aver raffigurato questa superficie, ci chiediamo se l'oggetto di studio, che chiamiamo campo, scorra attraverso questa superficie chiusa. Per capire di cosa si tratta, considera un semplice esempio liquido.

Diciamo che stiamo studiando il campo di velocità di un certo fluido. Per un esempio del genere, ha senso chiedersi: attraverso questa superficie passa più fluido per unità di tempo di quanto scorre nel volume delimitato da questa superficie? In altre parole, il tasso di deflusso è sempre diretto principalmente dall'interno verso l'esterno?

Con l'espressione "flusso di campo vettoriale" (e per il nostro esempio l'espressione "flusso di velocità del fluido" sarà più accurata), concorderemo di nominare la quantità totale di fluido immaginario che scorre attraverso la superficie del volume considerato delimitato da un dato a superficie chiusa (per la portata del fluido, quanto fluido segue dal volume per unità di tempo).

Di conseguenza, il flusso attraverso l'elemento di superficie sarà uguale al prodotto dell'area dell'elemento di superficie per la componente perpendicolare della velocità. Quindi il flusso totale (totale) attraverso l'intera superficie sarà uguale al prodotto della componente normale media della velocità, che conteremo dall'interno verso l'esterno, per l'area della superficie totale.

Ora torniamo al campo elettrico. Il campo elettrico, ovviamente, non può essere considerato la velocità del flusso di un liquido, ma abbiamo il diritto di introdurre un concetto matematico del flusso, simile a quello che abbiamo descritto sopra come il flusso della velocità del liquido.

Solo nel caso di un campo elettrico, il suo flusso può essere determinato dalla componente normale media dell'intensità del campo elettrico E. Inoltre, il flusso del campo elettrico può essere determinato non necessariamente attraverso una superficie chiusa, ma attraverso qualsiasi superficie delimitata di area diversa da zero S .

Circolazione di un campo vettoriale

È noto a tutti che, per maggiore chiarezza, i campi possono essere rappresentati sotto forma di cosiddette linee di forza, in ogni punto delle quali la direzione della tangente coincide con la direzione dell'intensità del campo.

Torniamo all'analogia del fluido e immaginiamo il campo di velocità del fluido Poniamoci una domanda: il fluido circola? Cioè, si muove principalmente nella direzione di un immaginario circuito chiuso?

Per maggiore chiarezza, immagina che il liquido in un grande contenitore si muova in qualche modo (Fig. A) e improvvisamente abbiamo congelato quasi tutto il suo volume, ma siamo riusciti a lasciare il volume non congelato sotto forma di un tubo uniformemente chiuso in cui non c'è attrito del liquido sulle pareti (fig. b).

All'esterno di questo tubo il liquido si è trasformato in ghiaccio e quindi non può più muoversi, ma all'interno del tubo il liquido può continuare il suo movimento, a condizione che vi sia una quantità di moto prevalente che lo spinga, ad esempio, in senso orario (Fig. °C). Quindi il prodotto della velocità del fluido nel tubo e la lunghezza del tubo sarà chiamato velocità di circolazione del fluido.

Allo stesso modo, possiamo definire una circolazione per un campo vettoriale, anche se ancora una volta non si può dire che il campo sia la velocità di qualcosa, possiamo tuttavia definire la caratteristica matematica della "circolazione" lungo un contorno.

Quindi, la circolazione di un campo vettoriale lungo un anello chiuso immaginario può essere definita come il prodotto della componente tangenziale media del vettore nella direzione del passaggio dell'anello — per la lunghezza dell'anello.