Un metodo simbolico per il calcolo dei circuiti CA

Un metodo simbolico di operazioni con grandezze vettoriali si basa su un'idea molto semplice: ogni vettore è scomposto in due componenti: una orizzontale, passante per l'ascissa, e la seconda, verticale, passante per l'ordinata. In questo caso tutte le componenti orizzontali seguono una linea retta e possono essere sommate con una semplice addizione algebrica, e allo stesso modo si sommano le componenti verticali.

Questo approccio generalmente si traduce in due componenti risultanti, una orizzontale e una verticale, che sono sempre adiacenti l'una all'altra allo stesso angolo di 90°.

Questi componenti possono essere usati per trovare il risultato, cioè per l'addizione geometrica. I componenti ad angolo retto rappresentano le gambe di un triangolo rettangolo e la loro somma geometrica rappresenta l'ipotenusa.

Si può anche dire che la somma geometrica è numericamente uguale alla diagonale di un parallelogramma costruito sulle componenti oltre che sui suoi lati... Se la componente orizzontale è indicata con AG e la componente verticale con AB, allora la somma geometrica ( 1)

Trovare la somma geometrica dei triangoli rettangoli è molto più facile dei triangoli obliqui. È facile vedere che (2)

diventa (1) se l'angolo tra i componenti è di 90°. Poiché cos 90 = 0, l'ultimo termine nell'espressione radicale (2) scompare, per cui l'espressione è notevolmente semplificata. Si noti che una delle tre parole deve essere aggiunta prima della parola "somma": "aritmetica", "algebrica", "geometrica".

Fico. 1.

La parola "importo" senza specificare quale porta all'incertezza e in alcuni casi a errori grossolani.

Ricordiamo che il vettore risultante è uguale alla somma aritmetica dei vettori nel caso in cui tutti i vettori percorrono una retta (o parallela tra loro) nella stessa direzione. Inoltre, tutti i vettori hanno un segno più (Fig. 1, a).

Se i vettori vanno lungo una linea retta ma puntano in direzioni opposte, allora il loro risultato è uguale alla somma algebrica dei vettori, nel qual caso alcuni termini hanno un segno più e altri hanno un segno meno.

Ad esempio, nello schema di fig. 1, b U6 = U4 — U5. Possiamo anche dire che la somma aritmetica viene utilizzata nei casi in cui l'angolo tra i vettori è zero, algebrica quando gli angoli sono 0 e 180 °. In tutti gli altri casi, l'addizione viene eseguita in modo vettoriale, ovvero viene determinata la somma geometrica (Fig. 1, c).

Esempio... Determinare i parametri dell'onda sinusoidale equivalente per il circuito Fig. 2, ma simbolico.

Risposta. Disegniamo i vettori Um1 Um2 e li scomponiamo in componenti. Si può vedere dal disegno che ogni componente orizzontale è il valore del vettore moltiplicato per il coseno dell'angolo di fase e la verticale è il valore del vettore moltiplicato per il seno dell'angolo di fase. Poi

Fico. 2.

Ovviamente le componenti orizzontali e verticali totali sono uguali alle somme algebriche delle corrispondenti componenti. Poi

I componenti risultanti sono mostrati in Fig. 2, b. Determina il valore di Um per questo, calcola la somma geometrica dei due componenti:

Determinare l'angolo di fase equivalente ψeq. Fico. 2, b, si può vedere che il rapporto tra la componente verticale e quella orizzontale è la tangente dell'angolo di fase equivalente.

Dove

La sinusoide così ottenuta ha un'ampiezza di 22,4 V, una fase iniziale di 33,5° con lo stesso periodo delle componenti. Si noti che si possono sommare solo onde sinusoidali della stessa frequenza, perché quando si sommano curve sinusoidali di frequenze diverse la curva risultante cessa di essere sinusoidale e tutti i concetti applicabili solo ai segnali armonici in questo caso perdono validità.

Ripercorriamo ancora una volta l'intera catena di trasformazioni che devono essere effettuate con le descrizioni matematiche delle forme d'onda armoniche durante l'esecuzione dei vari calcoli.

Innanzitutto, le funzioni temporali vengono sostituite da immagini vettoriali, quindi ogni vettore viene scomposto in due componenti reciprocamente perpendicolari, quindi le componenti orizzontale e verticale vengono calcolate separatamente e infine vengono determinati i valori del vettore risultante e la sua fase iniziale.

Questo metodo di calcolo elimina la necessità di aggiungere graficamente (e in alcuni casi eseguire operazioni più complesse, ad esempio moltiplicare, dividere, estrarre radici, ecc.) curve sinusoidali e ricorrere a calcoli utilizzando le formule dei triangoli obliqui.

Tuttavia, è piuttosto complicato calcolare separatamente le componenti orizzontali e verticali dell'operazione.In tali calcoli, è molto conveniente disporre di un tale apparato matematico con il quale è possibile calcolare entrambi i componenti contemporaneamente.

Già alla fine del secolo scorso è stato sviluppato un metodo che consente calcoli simultanei di numeri tracciati su assi reciprocamente perpendicolari. I numeri sull'asse orizzontale erano chiamati reali e i numeri sull'asse verticale erano chiamati immaginari. Quando si calcolano questi numeri, viene aggiunto un fattore di ± 1 ai numeri reali e ± j ai numeri immaginari (leggi "xi"). Vengono chiamati i numeri costituiti da parti reali e immaginarie complessoe il metodo dei calcoli eseguiti con il loro aiuto è simbolico.

Spieghiamo il termine «simbolico». Le funzioni da calcolare (armoniche in questo caso) sono originali e quelle espressioni che sostituiscono gli originali sono immagini o simboli.

Quando si utilizza il metodo simbolico, tutti i calcoli vengono eseguiti non sugli originali stessi, ma sui loro simboli (immagini), che nel nostro caso rappresentano i numeri complessi corrispondenti, poiché è molto più facile eseguire operazioni sulle immagini che sugli originali stessi.

Dopo che tutte le operazioni sull'immagine sono state completate, l'originale corrispondente all'immagine risultante viene registrato sull'immagine risultante. La maggior parte dei calcoli nei circuiti elettrici viene eseguita utilizzando il metodo simbolico.