Fondamenti e leggi dell'algebra della logica

Matematico irlandese della metà del XIX secolo Giorgio Toro sviluppò l'algebra della logica ("Studio delle leggi del pensiero"). Quindi viene chiamata anche l'algebra della logica algebra booleana.

Dando designazioni di lettere, esprimendo le operazioni di trasformazioni logiche in simboli di azione e utilizzando le regole e gli assiomi stabiliti per queste azioni, l'algebra della logica consente di descrivere completamente negli algoritmi il processo di ragionamento nella risoluzione di un problema dato in termini di logica dell'affermazione , cioè avere un programma scritto matematicamente che risolva questo problema.

Per denotare la verità o la falsità delle affermazioni (cioè per introdurre valori per valutare le affermazioni), l'algebra della logica utilizza un sistema binario, conveniente in questo caso. Se l'affermazione è vera, assume il valore 1, se è falsa, assume il valore 0. A differenza dei numeri binari, gli 1 e gli 0 logici non esprimono una quantità, ma uno stato.

Quindi, nei circuiti elettrici descritti usando l'algebra booleana, dove 1 è la presenza di tensione e 0 è la sua assenza, la fornitura di tensioni da più sorgenti a un nodo del circuito (cioè l'arrivo di diverse unità logiche di esso) è mostra anche come unità logica che indica non la tensione totale al nodo, ma solo la sua presenza.

Quando si descrivono i segnali di ingresso e di uscita dei circuiti logici, vengono utilizzate variabili che assumono solo i valori logici 0 o 1. Viene determinata la dipendenza dei segnali di uscita dall'ingresso operazione logica (funzione)… Indichiamo le variabili di input con X1 e X2 e l'output ottenuto da un'operazione logica su di esse con y.

Pensaci su tre operazioni logiche elementari di base, con l'aiuto del quale si possono descrivere quelli sempre più complessi.

1. Operazione OR — addizione logica:

Dati tutti i possibili valori delle variabili, si può definire l'operazione OR come la sufficienza di almeno un'unità in input per produrne una in output. Il nome dell'operazione è spiegato dal significato semantico dell'unione OR nella frase: «Se OR è un input OR il secondo è uno, allora l'output è uno.»

2. Operazione AND — moltiplicazione logica:

Considerando l'insieme completo di valori delle variabili, l'operazione AND è definita come la necessità di abbinare tutti quelli sugli input per ottenere uno sull'output: "Se AND è un input e il secondo è uno, allora l'uscita è una. «

3. Operazione NOT — negazione logica o inversione. È indicato da una barra sopra la variabile.

Quando invertito, il valore della variabile è invertito.

Leggi fondamentali dell'algebra logica:

1. La legge dell'insieme zero: il prodotto di qualsiasi numero di variabili si annulla se una qualsiasi delle variabili è zero, indipendentemente dai valori delle altre variabili:

2. La legge dell'insieme universale — la somma di qualsiasi numero di variabili diventa uno se almeno una delle variabili ha valore uno, indipendentemente dalle altre variabili:

3. La legge della ripetizione - le variabili ripetute nell'espressione possono essere omesse (in altre parole, non c'è elevamento a potenza e moltiplicazione per un coefficiente numerico in algebra booleana):

4. La legge della doppia inversione — l'inversione eseguita due volte è un'operazione vuota:

5. Legge di complementarità - il prodotto di ciascuna variabile e il suo inverso è zero:

6. La somma di ciascuna variabile e del suo reciproco è uno:

7. Leggi protettive — il risultato dell'esecuzione di operazioni di moltiplicazione e addizione non dipende dall'ordine in cui seguono le variabili:

8. Leggi combinate — durante le operazioni di moltiplicazione e addizione, le variabili possono essere raggruppate in qualsiasi ordine:

9. Leggi di distribuzione — è consentito mettere il coefficiente totale fuori dalle parentesi:

10. Leggi di assorbimento - indicare i modi per semplificare le espressioni che coinvolgono una variabile in tutti i fattori e termini:

11. Le leggi di De Morgan — l'inversione del prodotto è la somma delle inversioni delle variabili:

l'inversione della somma è il prodotto delle inversioni delle variabili: