Calcoli per il miglioramento del fattore di potenza in una rete monofase

In una rete CA, c'è quasi sempre uno sfasamento tra tensione e corrente, perché ad essa sono collegate induttanze - trasformatori, induttanze e principalmente motori e condensatori asincroni - cavi, compensatori sincroni, ecc.

Lungo la catena segnata con una linea sottile in fig. 1, la corrente risultante I passa con uno sfasamento φ rispetto alla tensione (Fig. 2). La corrente I è costituita dal componente attivo Ia e dal reattivo (magnetizzatore) IL. C'è uno sfasamento di 90° tra i componenti Ia e IL.

Le curve della tensione del terminale sorgente U, del principio attivo Ia e della corrente di magnetizzazione IL sono mostrate in Fig. 3.

In quelle parti del periodo, quando la corrente I aumenta, aumenta anche l'energia magnetica del campo della bobina. In quel momento, l'energia elettrica viene convertita in energia magnetica. Quando la corrente diminuisce, l'energia magnetica del campo della bobina viene convertita in energia elettrica e reimmessa nella rete elettrica.

Nella resistenza attiva, l'energia elettrica viene convertita in calore o luce e nel motore in energia meccanica. Ciò significa che la resistenza attiva e il motore convertono l'energia elettrica in calore e, rispettivamente, in energia meccanica bobina (induttanza) oppure il condensatore (condensatore) non consuma energia elettrica, perché al momento della coagulazione del campo magnetico ed elettrico viene completamente restituito alla rete elettrica.

Riso. 1.

Riso. 2.

Riso. 3.

Maggiore è l'induttanza della bobina (vedi Fig. 1), maggiore è la corrente IL e lo sfasamento (Fig. 2). Con uno sfasamento maggiore, il fattore di potenza cosφ e la potenza attiva (utile) sono minori (P = U ∙ I ∙ cosφ = S ∙ cosφ).

A parità di potenza totale (S = U ∙ I VA), che, ad esempio, il generatore fornisce alla rete, la potenza attiva P sarà minore per un angolo φ maggiore, cioè ad un fattore di potenza inferiore cosφ.

La sezione trasversale dei fili dell'avvolgimento deve essere progettata per la corrente ricevuta I. Pertanto, il desiderio degli ingegneri elettrici (tecnici di potenza) è di ridurre lo sfasamento, che porta a una diminuzione della corrente ricevuta I.

Un modo semplice per ridurre lo sfasamento, ovvero aumentare il fattore di potenza, è collegare il condensatore in parallelo con la resistenza induttiva (Fig. 1, il circuito è cerchiato con una linea in grassetto). La direzione della corrente capacitiva IC è opposta alla direzione della corrente di magnetizzazione della bobina IL. Per una certa scelta di capacità C, la corrente IC = IL, cioè ci sarà risonanza nel circuito, il circuito si comporterà come se non ci fosse resistenza capacitiva o induttiva, cioè come se ci fosse solo resistenza attiva in il circuito.In questo caso la potenza apparente è uguale alla potenza attiva P:

S = P; U ∙ I = U ∙ Ia,

da cui segue che I = Ia, e cosφ = 1.

Con correnti uguali IL = IC, cioè resistenze uguali XL = XC = ω ∙ L = 1⁄ (ω ∙ C), cosφ = 1 e lo sfasamento sarà compensato.

Lo schema in fig. 2 mostra come l'aggiunta di corrente IC alla corrente I risultante inverte il cambiamento. Osservando il circuito chiuso di L e C, possiamo dire che la bobina è collegata in serie al condensatore e le correnti IC e IL scorrono una dopo l'altra. Il condensatore, che viene caricato e scaricato alternativamente, fornisce una corrente di magnetizzazione Iμ = IL = IC nella bobina, che non viene consumata dalla rete. Un condensatore è un tipo di batteria CA per magnetizzare la bobina e sostituire la griglia, riducendo o eliminando lo sfasamento.

Lo schema in fig. 3 aree tratteggiate di mezzo periodo rappresentano l'energia del campo magnetico che si trasforma in energia del campo elettrico e viceversa.

Quando il condensatore è collegato in parallelo alla rete o al motore, la corrente risultante I diminuisce al valore della componente attiva Ia (vedi Fig. 2) Collegando il condensatore in serie alla bobina e all'alimentazione, la compensazione di si può anche ottenere lo sfasamento. Il collegamento in serie non viene utilizzato per la compensazione del cosφ poiché richiede più condensatori rispetto al collegamento in parallelo.

Gli esempi 2-5 di seguito includono calcoli del valore di capacità per scopi puramente didattici. In pratica, i condensatori vengono ordinati in base non alla capacità ma alla potenza reattiva.

Per compensare la potenza reattiva del dispositivo, misurare U, I e la potenza in ingresso P.Secondo loro, determiniamo il fattore di potenza del dispositivo: cosφ1 = P / S = P / (U ∙ I), che dovrebbe essere migliorato a cosφ2> cosφ1.

Le corrispondenti potenze reattive lungo i triangoli delle potenze saranno Q1 = P ∙ tanφ1 e Q2 = P ∙ tanφ2.

Il condensatore deve compensare la differenza di potenza reattiva Q = Q1-Q2 = P ∙ (tanφ1-tanφ2).

Esempi di

1. Un generatore monofase in una piccola centrale elettrica è progettato per una potenza S = 330 kVA a una tensione U = 220 V. Qual è la massima corrente di rete che il generatore può fornire? Quale potenza attiva genera il generatore con un carico puramente attivo, cioè con cosφ = 1, e con carichi attivi e induttivi, se cosφ = 0,8 e 0,5?

a) Nel primo caso il generatore può fornire la corrente massima I = S / U = 330.000 /220 = 1500 A.

Potenza attiva del generatore sotto carico attivo (piastre, lampade, forni elettrici, quando non c'è sfasamento tra U e I, cioè a cosφ = 1)

P = U ∙ I ∙ cosφ = S ∙ cosφ = 220 ∙ 1500 ∙ 1 = 330 kW.

Quando cosφ = 1, tutta la potenza S del generatore viene utilizzata sotto forma di potenza attiva P, cioè P = S.

b) Nel secondo caso, con attivo e induttivo, cioè carichi misti (lampade, trasformatori, motori), si verifica uno sfasamento e la corrente totale I conterrà, oltre alla componente attiva, una corrente magnetizzante (vedi Fig. 2). A cosφ = 0,8, la potenza attiva e la corrente attiva saranno:

Ia = I ∙ cosφ = 1500 ∙ 0,8 = 1200 A;

P = U ∙ I ∙ cosφ = U ∙ Ia = 220 ∙ 1500 ∙ 0,8 = 264 kW.

A cosφ = 0,8, il generatore non viene caricato a piena potenza (330 kW), sebbene una corrente I = 1500 A scorra attraverso l'avvolgimento e i fili di collegamento e li riscaldi.La potenza meccanica fornita all'albero del generatore non deve essere aumentata, altrimenti la corrente aumenterà a un valore pericoloso rispetto a quello per cui l'avvolgimento è progettato.

c) Nel terzo caso, con cosφ = 0.5, aumenteremo ancora di più il carico induttivo rispetto al carico attivo P = U ∙ I ∙ cosφ = 220 ∙ 1500 ∙ 0.5 = 165 kW.

A cosφ = 0,5, il generatore viene utilizzato solo al 50%. La corrente ha ancora un valore di 1500 A, ma di cui solo Ia = I ∙ cosφ = 1500 ∙ 0,5 = 750 A viene utilizzato per lavoro utile.

La componente della corrente di magnetizzazione Iμ = I ∙ sinφ = 1500 ∙ 0,866 = 1299 A.

Questa corrente deve essere compensata da un condensatore collegato in parallelo a un generatore o un'utenza in modo che il generatore possa fornire 330 kW invece di 165 kW.

2. Un motore aspirapolvere monofase ha potenza utile P2 = 240 W, tensione U = 220 V, corrente I = 1,95 A e η = 80%. È necessario determinare il fattore di potenza del motore cosφ, corrente reattiva e la capacità del condensatore, che eguaglia cosφ all'unità.

La potenza erogata dal motore elettrico è P1 = P2 / 0,8 = 240 / 0,8 = 300 W.

Potenza apparente S = U ∙ I = 220 ∙ 1,95 = 429 VA.

Fattore di potenza cosφ = P1 / S = 300 / 429≈0.7.

Corrente reattiva (magnetizzazione) Ið = I ∙ sinφ = 1,95 ∙ 0,71 = 1,385 A.

Perché cosφ sia uguale all'unità, la corrente del condensatore deve essere uguale alla corrente di magnetizzazione: IC = Ip; IC = U / (1⁄ (ω ∙ C)) = U ∙ ω ∙ C = Ir.

Pertanto, il valore della capacità del condensatore a f = 50 Hz C = Ið / (U ∙ ω) = 1,385 / (220 ∙ 2 ∙ π ∙ 50) = (1385 ∙ 10 ^ (- 6)) / 69,08 = 20 μF.

Quando un condensatore da 20 μF è collegato in parallelo al motore, il fattore di potenza (cosφ) del motore sarà 1 e solo la corrente attiva Ia = I ∙ cosφ = 1,95 ∙ 0,7 = 1,365 A verrà consumata dalla rete.

3. Un motore asincrono monofase con potenza utile P2 = 2 kW funziona a tensione U = 220 V e frequenza 50 Hz. Il rendimento del motore è dell'80% e cosφ = 0,6. Quale banco di condensatori deve essere collegato al motore per dare cosφ1 = 0,95?

Potenza assorbita dal motore P1 = P2 / η = 2000 / 0,8 = 2500 W.

La corrente risultante consumata dal motore a cosφ = 0,6 viene calcolata in base alla potenza totale:

S = U ∙ I = P1 / cosφ; io = P1 / (U ∙ cosφ) = 2500 / (220 ∙ 0,6) = 18,9 A.

La corrente capacitiva richiesta IC è determinata in base al circuito in Fig. 1 e diagrammi in FIG. 2. Il diagramma di Fig.1 rappresenta la resistenza induttiva dell'avvolgimento del motore con un condensatore collegato in parallelo ad esso. Dal diagramma di fig. 2 passiamo al diagramma di fig. 4, dove la corrente totale I dopo aver collegato il condensatore avrà un offset φ1 minore e un valore ridotto a I1.

Riso. 4.

La corrente risultante I1 con cosφ1 migliorato sarà: I1 = P1 / (U ∙ cosφ1) = 2500 / (220 ∙ 0,95) = 11,96 A.

Nel diagramma (Fig. 4), il segmento 1–3 rappresenta il valore della corrente reattiva IL prima della compensazione; è perpendicolare al vettore di tensione U. Il segmento 0-1 è la corrente attiva del motore.

Lo sfasamento diminuirà al valore φ1 se la corrente di magnetizzazione IL diminuisce al valore del segmento 1-2. Ciò accadrà quando un condensatore è collegato ai terminali del motore, la direzione della corrente IC è opposta alla corrente IL e la grandezza è uguale al segmento 3–2.

Il suo valore IC = I ∙ sinφ-I1 ∙ sinφφ1.

Secondo la tabella delle funzioni trigonometriche, troviamo i valori dei seni corrispondenti a cosφ = 0,6 e cosφ1 = 0,95:

IC = 18,9 ∙ 0,8-11,96 ∙ 0,31 = 15,12-3,7 = 11,42 A.

In base al valore di IC, determiniamo la capacità del banco di condensatori:

IC = U / (1⁄ (ω ∙ C)) = U ∙ ω ∙ C; C = IC / (U ∙ 2 ∙ π ∙ f) = 11,42 / (220 ∙ π ∙ 100) = (11420 ∙ 10 ^ (- 6)) / 69,08≈165 μF.

Dopo aver collegato al motore una batteria di condensatori con una capacità totale di 165 μF, il fattore di potenza migliorerà a cosφ1 = 0,95. In questo caso, il motore consuma ancora la corrente di magnetizzazione I1sinφ1 = 3,7 A. In questo caso, la corrente attiva del motore è la stessa in entrambi i casi: Ia = I ∙ cosφ = I1 cosφ1 = 11,35 A.

4. Una centrale con potenza P = 500 kW funziona a cosφ1 = 0,6, che deve essere migliorato a 0,9. Per quale potenza reattiva devono essere ordinati i condensatori?

Potenza reattiva a φ1 Q1 = P ∙ tanφ1 .

Secondo la tabella delle funzioni trigonometriche, cosφ1 = 0,6 corrisponde a tanφ1 = 1,327. La potenza reattiva che l'impianto consuma dalla centrale è: Q1 = 500 ∙ 1,327 = 663,5 kvar.

Dopo la compensazione con cosφ2 = 0,9 migliorato, l'impianto consumerà meno potenza reattiva Q2 = P ∙ tanφ2.

Il cosφ2 migliorato = 0,9 corrisponde a tanφ2 = 0,484 e la potenza reattiva Q2 = 500 ∙ 0,484 = 242 kvar.

I condensatori devono coprire la differenza di potenza reattiva Q = Q1-Q2 = 663,5-242 = 421,5 kvar.

La capacità del condensatore è determinata dalla formula Q = Ið ∙ U = U / xC ∙ U = U ^ 2: 1 / (ω ∙ C) = U ^ 2 ∙ ω ∙ C;

C = Q: ω ∙ U ^ 2 = P ∙ (tanφ1 — tanφ2): ω ∙ U ^ 2.